專注于：

1）材料中二氧化碳的退火方法：原子vs分子

2）二氧化碳在材料中的擴散

3）菲克定律

4）借助導(dǎo)數(shù)和積分

(1)陳的故事：材料中的二氧化碳退火方法

在致密金屬中，晶格間隙大于氫分子的直徑。 只有當氫分子解離成氫原子時，它們才能進入金屬并在金屬中原子擴散。 如果晶體存在缺陷，其數(shù)量級也是千分之幾。 即只有少量氫原子在缺陷處聚合成氫分子，大部分仍以原子形式存在。

氫在微孔材料或陶瓷材料中的擴散方式與在致密金屬中的擴散方式不同，擴散多項式與壓力之間的指數(shù)關(guān)系會發(fā)生變化。

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(2)菲克定律和物理化學(xué)方法

菲克定律包括兩個要素：

（1）早在1855年，菲克就提出，單位時間內(nèi)通過垂直于擴散方向的單位橫截面積的擴散物質(zhì)的通量（稱為擴散通量flux，記為J）與含量梯度有關(guān)截面處的擴散通量( )成反比，即含量梯度越大，擴散通量越大。 這就是菲克第一定理。

(2)菲克第二定理是在第一定理的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的。 菲克第二定理強調(diào)，在非穩(wěn)態(tài)擴散過程中，在距離x處，含量隨時間的變化率等于該處擴散通量隨距離變化率的負值。

單位時間內(nèi)，擴散物質(zhì)通過垂直于擴散方向的單位橫截面積的通量（稱為擴散通量，用J表示）與橫截面處的含量梯度（ ）成反比，即含量梯度越大，擴散通量越大。 物理表達式如下：

式中，D稱為擴散系數(shù)（m2/s），C為擴散物質(zhì)（成分）的體積含量（原子數(shù)/m3或kg/m3），?C/?x為含量梯度，符號“-”表示擴散方向與含量梯度相反的方向，即擴散成分從高含量區(qū)域向低含量區(qū)域擴散。 擴散通量J的單位為kg/(m2·s)

對于三維擴散系統(tǒng)，作為矢量的擴散通量J可以在x、y、z坐標軸方向上分解為三個分量Jx、Jy、Jz。 此時，擴散通量可寫為：

或者

其中，i、j、k表示x、y、z方向的單位向量。 J是擴散通量，是三維向量場，D是擴散系數(shù)，是二階張量菲克第一定律公式，C是內(nèi)容，是數(shù)場，▽是梯度算子。

前兩個多項式是菲克第一定理的物理表達式，是描述擴散現(xiàn)象的基本多項式。 菲克第一定理強調(diào)，在任何內(nèi)容梯度驅(qū)動的擴散系統(tǒng)中，物質(zhì)都會沿著其內(nèi)容場決定的負梯度方向擴散，擴散流的大小與內(nèi)容梯度成反比。 值得注意的是，擴散方程是描述宏觀擴散現(xiàn)象的唯象關(guān)系式，不涉及擴散系統(tǒng)內(nèi)部原子運動的微觀過程，而擴散系數(shù)反映了擴散系統(tǒng)的特性。 擴散多項式中的內(nèi)容C是位置和時間的函數(shù)，擴散系數(shù)D理論上是一個富含九個分量的二階張量，與擴散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)對稱性密切相關(guān)。 [2]

擴散介質(zhì)中擴散物質(zhì)的含量分布隨時間變化的擴散常稱為不穩(wěn)定擴散，其擴散通量隨位置和時間的變化而變化。 對于不穩(wěn)定擴散，可以根據(jù)物質(zhì)的平衡關(guān)系構(gòu)造擴散二階微分方程。

菲克第二定理是在第一定理的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的。菲克第二定理強調(diào)，在非穩(wěn)態(tài)擴散過程中，在距離x處，內(nèi)容隨時間的變化率等于內(nèi)容變化率的負值。擴散通量隨距離的變化，以及

這就是菲克第二定理的物理表達。如果擴散系數(shù)D隨坐標x變化不大，可以近似看作一個常數(shù)，那么公式可以寫為

上式中，C為擴散物質(zhì)的體積含量（kg/m^3），t為擴散時間（s），x為距離（m）。 事實上，退火體中溶質(zhì)原子的擴散系數(shù)D隨含量的不同而變化。 為了更容易求解擴散多項式，通常將D近似視為常數(shù)。

對于各向同性三維擴散系統(tǒng)，F(xiàn)ick 的第二擴散多項式可以寫為：

對于球?qū)ΨQ擴散，上式可以轉(zhuǎn)化為極坐標表達式：

菲克第二擴散多項式描述了在不穩(wěn)定擴散的情況下，介質(zhì)中各點由于擴散而引起的物質(zhì)含量的變化。 根據(jù)各種具體的初始條件和邊界條件，求解菲克第二擴散多項式，即可得到相應(yīng)體系的物質(zhì)含量隨時間和位置變化的規(guī)律。 [2]

菲克定律中的穩(wěn)態(tài)擴散和非穩(wěn)態(tài)擴散

穩(wěn)態(tài)擴散

菲克第一定理只適用于J和C不隨時間變化的場合——穩(wěn)態(tài)擴散（-state）。 所謂穩(wěn)定擴散是指擴散過程中擴散物質(zhì)的含量分布不隨時間變化的擴散過程。 這類問題可以直接用菲克第一定理解決。 對于穩(wěn)態(tài)擴散，也可以描述為：在擴散過程中，擴散成分的含量C僅隨距離x變化，而不隨時間t變化。 每時刻有多少個原子從后面擴散，向右擴散了多少個原子，沒有盈虧，所以內(nèi)容不隨時間變化。

事實上菲克第一定律公式，大多數(shù)擴散過程是在非穩(wěn)態(tài)條件下發(fā)生的。

非穩(wěn)態(tài)擴散是指擴散過程中擴散物質(zhì)的含量分布隨時間變化的擴散過程。 典型不穩(wěn)定擴散中的典型邊界條件可分為兩種情況：第一種情況是擴散過程中晶體表面擴散粒子的含量C0保持恒定； 第二種情況是一定量的擴散材料Q向內(nèi)擴散。

非穩(wěn)態(tài)擴散（-態(tài)）的特點是擴散過程中J隨時間和距離的變化而變化。 經(jīng)過各處的擴散通量J隨距離x而變化，而穩(wěn)態(tài)擴散的擴散通量處處相等，不隨時間變化。 對于非穩(wěn)態(tài)擴散，需要應(yīng)用菲克第二定理。 [2]

(3)微積分的補充知識：

導(dǎo)數(shù)基本公式

1/x 的行列式是 -1/x^2。

(u/v)'=(u'*vu*v')/(v^bai2) 可用，

(1/x)'=(1'*x-1*x')/x^2=-1/x^2

x 的 n 次方行列式

函數(shù)積 (f(x)*g(x)) 導(dǎo)數(shù)

積分常數(shù)

現(xiàn)有的雙面表達式：

這意味著“找到 x

關(guān)于x的積分”。積分是行列式的逆運算，所以可以換個思路：“關(guān)于x，導(dǎo)數(shù)得到

"的函數(shù)是什么，得到的函數(shù)就是上面表達式的積分，即：函數(shù)

導(dǎo)數(shù)的結(jié)果是

向上。 但顯然這不是正確的答案。 由于常數(shù)項在導(dǎo)數(shù)之后將被消除，因此，

的積分（主函數(shù)）有無限多個表示形式 (

+2,

+11 等）。 因此，此時應(yīng)該這樣處理：

使用字母C表示所有可以用作常數(shù)項的數(shù)字。

原始

對 f(x) 進行不定積分得到的函數(shù)稱為原函數(shù)。原函數(shù)可寫為

，也可以用小寫的f表示：F(x)。

圖的導(dǎo)數(shù)

在前面的反例中，為什么“2”部分原函數(shù)的行列式圖像看起來像“4”？ 這是因為此時“2”部分對應(yīng)的函數(shù)的斜率（行列式）為負值。 根據(jù)曲線的變化，不難看出斜率先減小后減小，因此對應(yīng)的行列式圖像為“4”。 看。

如果行列式代表變化的情況，那么積分就代表變化的集合。

與區(qū)間范圍積分

定積分是一個區(qū)間上的積分：

定積分的積分數(shù)上下都有字母，表示“從哪里到哪里的范圍”，“從哪里”在下面，“到哪里”在上面，所以

范圍是從a到b。

到了該努力工作的年紀，找份穩(wěn)定的工作，然后你就會發(fā)現(xiàn)，自己窮也安定了。

貧窮限制了我們的想象力，而我們的想象力不能被貧窮阻止。 現(xiàn)在就開始努力吧，也許你就能拼出大器晚成。

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這里列出了 14 個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

函數(shù) 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)

常數(shù)函數(shù)

（即常數(shù)）

（C為常數(shù)）

指數(shù)函數(shù)

電源功能

對數(shù)函數(shù)

余弦函數(shù)

正弦函數(shù)

余弦函數(shù)

余切函數(shù)

割函數(shù)

余割函數(shù)

反余弦函數(shù)

反正弦函數(shù)

簡而言之，正切函數(shù)

反余切函數(shù)

雙曲函數(shù)

復(fù)雜函數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)的四種算術(shù)運算：

高階行列式算法

……………….①

………………②

………………③

2、原函數(shù)的行列式與反函數(shù)的關(guān)系（從三角函數(shù)的行列式推導(dǎo)出反三角函數(shù)）：

y=f(x) 的反函數(shù)為 x=g(y)，則 y'=1/x'。

3、復(fù)合函數(shù)的推導(dǎo)：

復(fù)合函數(shù)對自變量的行列式等于已知函數(shù)對中間變量的行列式除以中間變量對自變量的行列式（稱為鏈式法則）。

4、變極限積分的求導(dǎo)規(guī)則：

（a(x)、b(x) 是子函數(shù)）

行列式的估計

估計已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以根據(jù)行列式的定義，利用變化率的極限來估計。 在實際估計中，大多數(shù)常見的解析函數(shù)都可以看作是一些簡單函數(shù)的和、差、積、商或復(fù)合結(jié)果。 只要知道這個簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，就可以根據(jù)行列式的導(dǎo)數(shù)規(guī)則來估計更復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

行列式的導(dǎo)數(shù)定律

由基本函數(shù)的和、差、積、商或互復(fù)合組成的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可以通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)規(guī)則推導(dǎo)出來。 基本衍生規(guī)則如下：

1、求導(dǎo)的線性性：函數(shù)線性組合的導(dǎo)數(shù)等于先對它們各自求偏導(dǎo)數(shù)，然后再取線性組合（即公式①）。

2、兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)函數(shù)：一導(dǎo)數(shù)乘二+一乘二導(dǎo)數(shù)（即公式②）。

3、兩個函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)函數(shù)也是一個多項式：（子導(dǎo)數(shù)乘以母-子導(dǎo)數(shù)乘以母導(dǎo)數(shù)）乘以母平方（即公式③）。

4. 如果存在復(fù)合函數(shù)，則使用鏈式法則導(dǎo)數(shù)。

高階導(dǎo)數(shù)

如何找到高階行列式

1、直接法：從高階行列式的定義中逐步求出高階行列式。

通常用于尋找解決問題的能力。

2、高階行列式算法：

（牛頓-萊布尼茲公式）

3、間接法：借助已知的高階行列式公式，通過四次算術(shù)運算、變量代換等。

注意：代入后，函數(shù)應(yīng)該很容易求出，盡量接近已知公式來求階行列式。

公式

為了方便記憶，有人整理了如下公式：

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